福师18春《实变函数》在线作业二（100分）

福师18春《实变函数》在线作业二 
试卷总分:100    得分:100

一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
正确答案: A

2.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案: A

3.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A.错误
B.正确
正确答案: B

4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A.错误
B.正确
正确答案: B

5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
正确答案: B

6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
正确答案: B

7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
正确答案: B

8.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A.错误
B.正确
正确答案: A

9.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A.错误
B.正确
正确答案:www.youxue100f.com

10.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A.错误
B.正确
正确答案:

11.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A.错误
B.正确
正确答案:

12.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
正确答案:

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A.错误
B.正确
正确答案:

14.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A.错误
B.正确
正确答案:

15.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
正确答案:

16.f可积的充要条件:|f|可积。
A.错误
B.正确
正确答案:

17.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A.错误
B.正确
正确答案:

18.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A.错误
B.正确
正确答案:

19.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A.错误
B.正确
正确答案:

20.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
正确答案:

21.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A.错误
B.正确
正确答案:

22.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
正确答案:

23.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A.错误
B.正确
正确答案:

24.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
正确答案:

25.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A.错误
B.正确
正确答案:

26.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A.错误
B.正确
正确答案:

27.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A.错误
B.正确
正确答案:

28.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A.错误
B.正确
正确答案:

29.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A.错误
B.正确
正确答案:

30.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A.错误
B.正确
正确答案:

31.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
正确答案:

32.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A.错误
B.正确
正确答案:

33.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A.错误
B.正确
正确答案:

34.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A.错误
B.正确
正确答案:

35.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A.错误
B.正确
正确答案:

36.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A.错误
B.正确
正确答案:

37.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A.错误
B.正确
正确答案:

二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
正确答案:

2.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(&cup;Ai)=&cup;f(Ai)
B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)
C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0
D.(&cup;Ai)c=&cap;(Aic)
正确答案:

3.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn几乎一致收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
正确答案:

4.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有连续统势的集
D.基数为2^c的集
正确答案:

5.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
正确答案:

三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
1.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
正确答案:

2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
正确答案:

3.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A.g可积
B.g可测
C.g<∞，a.e.
D.当g可测时g必可积
正确答案:

4.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
正确答案:

5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性
正确答案:

6.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
正确答案:

7.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
正确答案:

8.若f&isin;BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
正确答案: