福师18春《实变函数》在线作业一（100分）

福师18春《实变函数》在线作业一 
试卷总分:100    得分:100

一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A.错误
B.正确
正确答案: B

2.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A.错误
B.正确
正确答案: B

3.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A.错误
B.正确
正确答案: B

4.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A.错误
B.正确
正确答案: B

5.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A.错误
B.正确
正确答案: A

6.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A.错误
B.正确
正确答案: A

7.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A.错误
B.正确
正确答案: B

8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A.错误
B.正确
正确答案: B

9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A.错误
B.正确
正确答案:www.youxue100f.com

10.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
正确答案:

11.f可积的充要条件:|f|可积。
A.错误
B.正确
正确答案:

12.零测度集的任何子集都是可测集.
A.错误
B.正确
正确答案:

13.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误
B.正确
正确答案:

14.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A.错误
B.正确
正确答案:

15.若f∈BV,则f有界。
A.错误
B.正确
正确答案:

16.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案:

17.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A.错误
B.正确
正确答案:

18.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
正确答案:

19.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A.错误
B.正确
正确答案:

20.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
正确答案:

21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A.错误
B.正确
正确答案:

22.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
正确答案:

23.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A.错误
B.正确
正确答案:

24.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A.错误
B.正确
正确答案:

25.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误
B.正确
正确答案:

26.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A.错误
B.正确
正确答案:

27.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案:

28.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A.错误
B.正确
正确答案:

29.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
正确答案:

30.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A.错误
B.正确
正确答案:

31.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A.错误
B.正确
正确答案:

32.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A.错误
B.正确
正确答案:

33.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A.错误
B.正确
正确答案:

34.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A.错误
B.正确
正确答案:

35.f&isin;BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A.错误
B.正确
正确答案:

36.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A.错误
B.正确
正确答案:

37.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A.错误
B.正确
正确答案:

二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
1.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.Ac为稠集
B.A为开集
C.A为孤立点集
D.A不完备
正确答案:

2.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(&cup;Ai)=&cup;f(Ai)
B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)
C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0
D.(&cup;Ai)c=&cap;(Aic)
正确答案:

3.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
正确答案:

4.fn->f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn几乎一致收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->|f|,a.e.
正确答案:

5.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
正确答案:

三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
1.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A.几乎处处可微
B.L可积
C.f'可积
D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
正确答案:

2.若f&isin;AC[a,b]，则（ ）
A.f&isin;C[a,b]
B.f&isin;BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+&int;ax  f '(t)dt
D.f&isin;Lip[a,b]
正确答案: 

3.若f&isin;BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
正确答案:

4.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
正确答案:

5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
正确答案:

6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性
正确答案:

7.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
正确答案:

8.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.L可积
D.不是L可积
正确答案: